2018全国Ⅱ理科数学高考真题
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全国二——理科数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题,共150分,共5页。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A.
B.
C.
D.
2.已知集合A={(x,y)|x²+y ²≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为
A.9
B.8
C.5
D.4
3.函数f(x)=e²-e-x/x ²的图像大致为
A.
B.
C.
D.
4.已知向量a,b满足∣a∣=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
A.4
B.3
C.2
D.0
5.双曲线x²/a ²-y ²/b ²=1(a﹥0,b﹥0)的离心率为,则其渐进线方程为
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±
D.y=±
6.在中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=
A.4
B.
C.
D.2
7.为计算s=1-+-+…+-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入
A.i=i+1
B.i=i+2
C.i=i+3
D.i=i+4
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
A.
B.
C.
D.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
A.
B.
10.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是
A.
B.
C.
D. π
11.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=
A.-50
B.0
C.2
D.50
12.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为
A..
B.
C.
D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________。
14.若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为_________。
15.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________。
16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为,则该圆锥的侧面积为________。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S1=-15。
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值。
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t。
-
分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
-
你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。
19.(12分)
设抛物线C:y²=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8。
-
求l的方程;
-
求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。
20.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点。
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值。
21、(12分)
已经函数f(x)=ex-ax2。
(1)若a=1,证明:当x≥ 0时,f(x)≥ 1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a。
(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22、[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中xOy中,曲线C的参数方程为( θ 为参数),直线l的参数方程为,(t为参数)。
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率。
23:[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数f(x)=5-|x+a|-| x-2|。
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥ 0的解集;
(2)若f(x)≤ 1时,求a的取值范围。